segunda-feira, 7 de agosto de 2017

001 - Progressão Mista

A álgebra é generosa: freqüentemente ela dá mais do que se lhe pediu.

D'Alembert  



Definição

Dados


  

  e   

progressão mista é a sequência numérica  , onde

Cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior vezes uma constante  e mais uma constante , ou seja

Ou então, cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior mais uma constante vezes uma constante , ou seja,

As constantes  e  ( ou  ) são denominadas razão multiplicativa aditiva da progressão mista, respectivamente.

O segundo conceito é equivalente ao primeiro, pois temos

, com

  

Logo, para cada  onde , existirá um  tal que . De fato, pois .

Adotaremos a primeira definição com  .

Exemplo

Sejam  e .

Formaremos os quatro primeiros termos da progressão mista de duas formas: com  e com .  

 
  ou 
 ou 
 ou  

Cálculo das razões  e 

 Do sistema

  
              

tiramos 

  


 com



 ( fornecida pela primeira equação do sistema )

Assim, precisamos de três termos consecutivos  e  para acharmos as razões  e  da progressão mista.

Exemplo

Calcular as razões da progressão mista . Temos, então,  e . Logo,

 

 

Sendo possível estes cálculos, concluímos que, dados três números quaisquer que não estejam em  ou , então estes números sempre farão parte de uma progressão mista.


Fórmula do termo geral

Pela relação   , temos

 

 

 

 

 ................................................................................................................................................




Exemplos

Assim, a sequência do primeiro exemplo , com , e  fica


Enquanto que a sequência do segundo exemplo  , com  e  tem a forma




Considerações sobre o termo geral - forma sintética

Com um pequeno rearranjo,  a fórmula  se transforma em


 e chegamos a forma sintética , com

 e  

Na forma sintética, temos

  ,  e 

Assim,
 


 

Exemplos 

, com  e 


 



, com  e  






, com  e 



Curiosidades

A fórmula que fornece a soma dos  primeiros termos de uma progressão geométrica (), de primeiro termo   e razão , ou seja, , é o enésimo termo de uma progressão mista. De fato,


com  e  , sendo


   





A sequência constante  pode ser interpretada como uma progressão mista com  e  ou vice-versa, sendo que estas razões não são únicas. Qual forma geral destas razões para ?

Sugestão de pesquisa

Qual o processo de formação da sucessão numérica gerada pelo termo geral

  ?




Referência bibliográfica: Coleção Fundamentos de Matemática Elementar-V4.

Imagem: http://www.fractal.org/Fractal-tree-scaffold.htm