e
progressão mista é a sequência numérica , onde
Cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior vezes uma constante e mais uma constante , ou seja
Ou então, cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior mais uma constante e vezes uma constante , ou seja,
As constantes e ( ou ) são denominadas razão multiplicativa e aditiva da progressão mista, respectivamente.
O segundo conceito é equivalente ao primeiro, pois temos
, com
Logo, para cada onde , existirá um tal que . De fato, pois .
Adotaremos a primeira definição com .
Adotaremos a primeira definição com .
Exemplo
Sejam , e .
Formaremos os quatro primeiros termos da progressão mista de duas formas: com e com .
ou
ou
ou
Cálculo das razões e
Do sistema
tiramos
com
( fornecida pela primeira equação do sistema )
Assim, precisamos de três termos consecutivos , e para acharmos as razões e da progressão mista.
Calcular as razões da progressão mista . Temos, então, , e . Logo,
Exemplo
Calcular as razões da progressão mista . Temos, então, , e . Logo,
Sendo possível estes cálculos, concluímos que, dados três números quaisquer que não estejam em ou , então estes números sempre farão parte de uma progressão mista.
Pela relação , temos
Fórmula do termo geral
Pela relação , temos
................................................................................................................................................
Exemplos
Assim, a sequência do primeiro exemplo , com , e fica
Enquanto que a sequência do segundo exemplo , com , e tem a forma
Considerações sobre o termo geral - forma sintética
Com um pequeno rearranjo, a fórmula se transforma em
e chegamos a forma sintética , com
, e
Na forma sintética, temos
, e
Assim,
Exemplos
, com , e
, com , e
, com , e
Curiosidades
A fórmula que fornece a soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica (), de primeiro termo e razão , ou seja, , é o enésimo termo de uma progressão mista. De fato,
com , e , sendo
A sequência constante pode ser interpretada como uma progressão mista com , e ou vice-versa, sendo que estas razões não são únicas. Qual forma geral destas razões para ?
Sugestão de pesquisa
?
Referência bibliográfica: Coleção Fundamentos de Matemática Elementar-V4.
Imagem: http://www.fractal.org/Fractal-tree-scaffold.htm